§3 La Matlogica

3.1 MATLOGICA: Un inguaggio logico matematico di primo livello riadattato all’uso matematico (=> con operatori) ed assiomatico (=> senza uguaglianza).

Il linguaggio che tenterò di precisare dovrà certamente permettere lo sviluppo della matematica secondo le consuetudini: ciò perchè è la matematica quotidiana che si vuole comprendere meglio cercando di inquadrarne le pratiche in una visione quadro abbastanza generale.

Bene: Il linguaggio sarà del primo ordine, cioè i quantificatori esistenziale ed universale potranno applicarsi solamente agli oggetti (propri) della teoria, dopodiché, oltre a questi, avremo bisogno di proposizioni, di relazioni 0,1,2,3,….,n-adiche entro oggetti, e per fare matematica avremo bisogno di parlare di funzioni da oggetti verso oggetti.
Però, siccome in matematica si tratta spesso di funzioni come oggetti propri della teoria, invece di usare il termine “funzioni” parlerò piuttosto di operatori 0,1,2,3,….,n-adici. Nota bene: Alla ricerca di una certa uniformità di trattamento e di linguaggio, una relazione 1-adica sarà una proprietà, una relazione 0-adica sarà un fatto -vero o falso- (espresso da una proposizione), una 1-upla di oggetti sarà un oggetto, ed un operatore 0-adico sarà esso pure un oggetto.
Tra l’altro questa divergenza di appellazione “funzione->operatore” sarà ancora più necessaria perchè allontanandomi dalla trattazione logica classica di questi concetti,

non si domanderà per introdurre un operatore, come negli abituali linguaggi ligici, che ci sia obbligatoriamente una proposizione che affermi l’unicitá dell’ (una legge che determini univocamente l’) oggetto di arrivo in seguito all’applicazione dell’operatore su una 0,1,2,3….,n-upla di oggetti: una delle ragioni di questa scelta è che non voglio ricorrere alla relazione di uguaglianza nella definizione delle regole primitive del linguaggio logico, che sarebbe così già una teoria con una relazione primitiva invece di essere puro linguaggio logico. Ma, da un altro lato, come per le funzioni oggetto della matematica, il mio linguaggio logico sarà più complesso degli abituali linguaggi logici del primo ordine, e permetterò dunque ad un operatore di dare in uscita una 1,2,3….,n-upla di oggetti.

In effettin il secondo punto è legato al primo: Prendiamo la seguente proposizione: \[ \forall x \exists! y R(x,y) \tag{3.1} \] Nei linguaggi logici abituali questa proposizione ci permette di parlare di un operatore che ci appare nuovo, diciamo per esempio \(\Re\) (per indicare il quale si utilizzerà un simbolo a scelta ma mai utilizzato in precedenza, per esempio qui ho utilizzato il simbolo “\(\Re\)”) e di affermare di questo operatore che vale il fatto definito dalla proposizione seguente; \[ \forall x R(x,\Re x) \tag{3.2} \] Diciamo in altre parole, che se la proposizione (3.1) è un teorema, allora si può introdurre la proposizione definitoria (3.2) per il nuovo simbolo “\(\Re\_\)”.
Ma, nei linguaggi logici abituali, è essenziale l’unicità dell’y nella proposizione (3.1). Ma il simbolo \("\exists!"\) in realtà non è un simbolo primitivo del nostro linguaggio logico; Riscrivendo (3.1) per esteso otteniamo: \[ \forall x \exists y \Bigg( R(x,y) \land \forall z \Big( R(x,z) \implies z=y \Big) \Bigg) \tag{3.3} \] ove si vede chiaramente che per l’unicità si deve ricorrere alla relazione di uguaglianza: Inoltre da (3.2) et (3.1) (o (3.3)) si può con opportuni passaggi derivare:

\[ \forall x,z \Big( R(x,z) \implies z=\Re x \Big) \tag{3.4} \] Ma nel sistema di regole dilla MATLOGICA non accetterò il ricorso alla relazione di uguaglianza che mi sembra essere qualcosa di extralogico. Semplificherò dunque il tutto dicendo che nella MATLOGICA da un teorema: \[ \forall x \exists y M(x,y) \tag{3.5} \] sarò autorizzato ad introdurre la proposizione definitoria per un nuovo simbolo “\(\Theta\)”:

\[ \forall x M(x,\Theta x) \tag{3.6} \] Evidentemente in generale si avrà: \[ M(a,c) \not\implies c=\Theta a \tag{3.7} \] a meno che l’imolicazione non sia provabile per altra via.
Attenzione tuttavia alla seguente definizione per il nuovo simbolo “\(T\)”: \[ \forall x,y \Big( T(x,y) \iff y=\Theta x \Big) \tag{3.8} \] (Come farei per definire “\(T\)” se non si dispone dell’uguaglianza? Vedremo in seguito che un metodo equivalente esiste! Ma concentriamoci prima su un’altra questione.) Poichè \(\Theta\) lo abbiamo definito a partire da un \(M\) dove non era domandata l’unicità di cui sopra, si può per un determinato \(x\) immaginare tuttavia \(\Theta x\) multiplo? Cioé immaginare \(\Theta\) come una specie di funzione tale per cui da un elemento partano molteplici frecce? Facciamo alcuni ragionamenti utilizzando dei passaggi logici che vogliamo continuare a poter fare nella nostra Matlogica!

Siano \(\color{red}{a}\), \(\color{red}{b}\), \(\color{red}{c}\) tali che valgano le due proposizioni:

\[ \color{red}{T(a,b)} \tag{3.9} \] \[ \color{red}{T(a,c)} \tag{3.10} \]

Da (3.8) e (3.9) si deduce:

\[ \color{red}{b=\Theta a} \tag{3.11} \]

Da (3.8) e (3.10) si deduce:

\[ \color{red}{c=\Theta a} \tag{3.12} \]

E da (3.11) e (3.12) per la transitività dell’uguaglianza si deduce:

\[ \color{red}{c=b} \tag{3.13} \] Ritirando le ipotesi ausiliarie (3.9) e (3.10) su \(a\), \(b\), \(c\), si ottiene:

\[ \Big(T(a,b) \land T(a,c) \;\; \implies \;\; c=b \Big) \tag{3.14} \] Poiché (3.14) vale senza che vi siano alcunché ipotesi su \(a\), \(b\), \(c\), gli stessi identici ragionamenti potrebbero ripetersi su qualunque altra terna di oggetti ottenendo gli stessi risultati:

\[ \Big(T(d,e) \land T(d,f) \;\; \implies \;\; f=e \Big) \tag{3.15} \] \[..................................\] \[..................................\] \[. \;\;\;\;\;\; .\] \[. \;\;\;\;\;\; .\] \[. \;\;\;\;\;\; .\] \[. \;\;\;\;\;\; .\] \[..................................\] \[..................................\] \[ \Big(T(r,s) \land T(r,t) \;\; \implies \;\; t=s \Big) \tag{3.16} \] Praticamente si può immaginare una quantità non limitata di dimostrazioni, cioé per ogni terna d’oggetti, e dedurne a senso (per il momento), anche se ciò non fa parte di un metodo logico assiomatico e formale di dimostrare, che: \[ \forall x,y,z \Big(T(x,y) \land T(x,z) \;\; \implies \;\; z=y \Big) \tag{3.17} \] quest’ultima proposizione non dice nulla di veramente nuovo, ma non ci sono operatori (o funzioni) che potrebbero interpretarsi in modo bizarro come domandato sopra, ci sono solo variabili per oggetti indicati con segni individuali semplici, cioé \(x\), \(y\), \(z\), ed interpretando questa proposizione in modo classico si capisce il suo senso: che dato un \(x\) è unico l’oggetto correlato ad esso via la relazione \(T\) .
Da (3.8) e da (3.17) con alcuni passagi si puó derivare: \[ \forall x,y \Big( T(x,y) \land T(x,\Theta x) \implies \Theta x = y \Big) \tag{3.18} \] che spero ci aiuti a capire che, fissato un certo x, \(\Theta x\) è anch’esso unico! Ma com’è possibile se la relazione di partenza \(M\) per definire \(\Theta\) non domandava l’unicità, e dunque non poteva indicarci un elemento unico particolare da correlare ad x? È così, bisogna vedere \(\Theta x\) come unico, poiché definito, ammettendo allo stesso tempo che non si possa sapere qual è quell’unico! Dal punto di vista della deduzione logica questo fatto non porta danno perché permetterà di dire di quell’unico solo quanto si sarebbe potuto dire per ogni altro oggetto che sarebbe potuto essere al posto suo!
Inoltre perché dovrei porre vincoli al mio sistema logico che non siano strettamente richiesti per il funzionamento del sistema? Per adattarmi ad una visione prestabilita di come considerare questi concetti? Cercherò di non seguire questa via perché voglio scoprire il necessario della logica! \[ \forall x,y,z \Bigg( ADD\Big(x,y,z\Big) \implies ADD\Big(x,S(y),S(z)\Big) \Bigg) \tag{3.19} \]

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